EAGLE-TINTIN: TEORI ALJABAR LINIER

Hasil browsing2 ana :

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear. Beberapa penyelesaian yang berhubungan dengan aljabar linier adalah mengenai system persamaan linier, invers, pencarian nilai eigen dan nilai vector serta diagonalisasi.

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3x₁ + 4x₂ − 2 x₃ = 5

x₁ − 5x₂ + 2x₃ = 7

2x₁ + x₂ − 3x₃ = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut

$\begin{bmatrix} 3 & 4 & -2 & 5\\ 1 & -5 & 2 & 7\\ 2 & 1 & -3 & 9\\ \end{bmatrix}$

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.

A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A ^{− 1} ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B ^{− 1}. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}$ dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0

Dengan Rumus =

$A^{-1} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\ -\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\ \end{bmatrix}$

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{– 1}

.Jika A adalah matriks n x n,maka vector tak nol x di dalam Rⁿ dinamakan veltor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan scalar dari x,yaitu :

Ax=

Untuk suatu scalar

. Scalar

disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan vector eien yang bersesuaian dengan

Untuk mencari nilai matrik A yang berukuran n x n maka kita menuliskannya kembali Ax=

x sebagai

Ax=

è (

I-A)x=0

Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika

det(

I - A)=0

Definisi dari sebuah matriks bujursangkar A dikatakan dapat di diagonalisasi jika terdapat sebuah matriks P yang dapat dibalik sedemikian rupa sehingga adalah sebuah matriks diagonal, P dikatakan mendiagonalisasi A.

Diagonalisasi orthogonal mempunyai definisi :

Jika A adalah sebuah matriks simetriks, maka :

Nilai eigen matriks semuanya adalah bilangan real
Vektor yang berasal dari ruang eigen yang berbeda salaing orthogonal.

Sedangkan kita ketahui bahwa bahasa pemrogaman memang begitu banyak. Bahasa pemrograman, atau sering diistilahkan juga dengan bahasa komputer, adalah teknik komando/instruksi standar untuk memerintah komputer. Bahasa pemrograman ini merupakan suatu himpunan dari aturan sintaks dan semantik yang dipakai untuk mendefinisikan program komputer. Bahasa ini memungkinkan seorang programmer dapat menentukan secara persis data mana yang akan diolah oleh komputer, bagaimana data ini akan disimpan/diteruskan, dan jenis langkah apa secara persis yang akan diambil dalam berbagai situasi. Sebagian besar bahasa pemrograman digolongkan sebagai Bahasa Tingkat Tinggi, hanya bahasa C yang digolongkan sebagai Bahasa Tingkat Menengah dan Assembly yang merupakan Bahasa Tingkat Rendah. C++ merupakan bahasa pemrograman yang memiliki sifat Pemrograman berorientasi objek, Untuk menyelesaikan masalah, C++ melakukan langkah pertama dengan menjelaskan class-class yang merupakan anak class yang dibuat sebelumnya sebagai abstraksi dari object-object fisik, Class tersebut berisi keadaan object, anggota-anggotanya dan kemampuan dari objectnya, Setelah beberapa Class dibuat kemudian masalah dipecahkan dengan Class.

Minggu, 10 Juli 2011

TEORI ALJABAR LINIER